Question

如圖，拋物線的頂點坐標為M（1，4），與x軸的一個交點是A（-1，0），與y軸交于點B，直線x=1交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）求經過B、M兩點的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點C的坐標；
（3）若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過點A，并且與直線BM相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-1）²+4，將A（-1，0）點坐標代入解析式即可，然后令x=0即可求出點B的坐標；
（2）設直線BM的解析式為y=kx+b，將BM兩點坐標代入y=kx+b即可求得直線的解析式，令y=0即可求出點C的坐標；
（3）連接PA，過點P作PQ⊥BM，根據三角形相似的性質列出關于m的方程，解方程得出符合條件的解即使點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（1，4）
∴設拋物線的解析式是y=a（x-1）²+4
把A點坐標x=-1，y=0代入，得0=a（-1-1）²+4，
∴a=-1
∴拋物線的解析式是y=-（x-1）²+4
即y=-x²+2x+3
令x=0，得y=3，
∴B點的坐標是（0，3）；

（2）設直線BM的解析式為y=kx+b，
把x=0，y=3；x=1，y=（4分）別代入，得

3=b 4=k+b

，
解得：

k=1 b=3

，
∴直線BM的解析式是y=x+3，
令y=0．得0=x+3，
∴x=-3，
∴C點坐標是（-3，0）；

（3）假設存在滿足題意的點P（1，m），其中m＞0．
連接PA，則PA是⊙P的半徑．
在Rt△PAN中，PA=

m2+22

=

m2+4

，
過點P作PQ⊥BM，垂足為Q．
則PQ=PA時，⊙P與直線BM相切．
在Rt△MPQ和Rt△MCN，sin∠CMN=

PQ

PM

=

CN

CM

，
∴

m2+4

4-m

=

4

4 2

，
整理，得m²+8m-8=0，
解這個方程，得m1=-4+2

6

，m2=-4-2

6

（，舍去）
∴存在滿足題意的點P，其坐標為（1，-4+2

6

）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的相似及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．