Question

如圖，已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖①所示）時，易證得結論：PA²+PC²=PB²+PD²．
以下請你探究：當P點分別在圖②、圖③中的位置時，即P在矩形ABCD的內部和外部時，線段PA²，PB²，PC²，PD²又有怎樣的數量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并證明圖②（P在矩形ABCD的內部）的結論．

答：對圖②的探究結論為______，對圖③的探究結論為______．

Answer 1

圖②，過點P作EF∥AB，作MN∥BC，
則四邊形AMPE，四邊形BFPM，四邊形FCNP，四邊形NDEP都是矩形，
根據勾股定理得，PA²=AE²+PE²，
PB²=BF²+PF²，
PC²=FC²+PF²，
PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²；

圖③，過點P作PF∥AB交AD于點E，則四邊形ABEF，四邊形FCDE都是矩形，
根據勾股定理得，PA²=AE²+PE²，PB²=BF²+PF²，PC²=FC²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²．
故答案為：對圖②的探究結論為：PA²+PC²=PB²+PD²，對圖③的探究結論為：PA²+PC²=PB²+PD²．