Question

（2013•重慶）如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線y=x交于點Q，則點Q的坐標為

（

9

4

，

9

4

）

．

Answer 1

分析：過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，證△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，設AD=x，求出DN=2x-1，得出2x-1=1，求出x=1，得出D的坐標，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD=

5

，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐標，設直線CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入求出直線CD的解析式，解由兩函數解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．

解答：解：
過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中

∠CMP=∠DNP ∠MCP=∠DPN PC=PD

∴△MCP≌△NPD，
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴設AD=x，BD=2x，
∵P（1，1），
∴DN=2x-1，
則2x-1=1，
x=1，
即BD=2，C的坐標是（0，3），
∵直線y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=

( 5 )2-12

=2，
則C的坐標是（0，3），
設直線CD的解析式是y=kx+3，
把D（3，2）代入得：k=-

1

3

，
即直線CD的解析式是y=-

1

3

x+3，
即方程組

y=- 1 3 x+3 y=x

得：

x= 9 4 y= 9 4

，
即Q的坐標是（

9

4

，

9

4

），
故答案為：（

9

4

，

9

4

）．

點評：本題考查了用待定系數法求出一次函數的解析式，全等三角形的性質和判定，解方程組，勾股定理，旋轉的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．