Question

【題目】如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線與△ABC的外接圓相交于點D，與BC交于點E，連接BI、CI、BD、DC．下列說法中正確的有（　　）

①∠CAD繞點A順時針旋轉一定的角度一定能與∠DAB重合；

②I到△ABC三個頂點的距離相等；③∠BIC=90°+∠BAC；

④線段DI是線段DE與DA的比例中項；⑤點D是△BIC的外心．

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：①∵I是△ABC的內心，

∴AI平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB，

∴∠CAD繞點A順時針旋轉一定的角度一定能與∠DAB重合；

所以此選項說法正確；

②∵I是△ABC的內心，

∴I是△ABC三個角平分線的交點，

∴I到△ABC三邊的距離相等，

所以此選項說法不正確；

③∵I是內心，

∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABI=∠ABC，∠ACI=∠ACB，

∵∠BIE=∠ABI+∠BAI，∠EIC=∠DAC+∠ACI，

∴∠BIC=∠BIE+∠EIC=∠ABI+∠BAI+∠DAC+∠ACI，

∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，

∴∠ABC+∠ACB=90°﹣∠BAC，

∴∠ABI+∠ACI=90°﹣∠BAC，

∴∠BIC=90°﹣∠BAC+∠BAC=90°+∠BAC，

所以此選項說法正確；

④∵∠DCB=∠BAD，∠BAD=∠DAC，

∴∠DCB=∠DAC，

∵∠ADC=∠ADC，

∴△ADC∽△CDE，

∴，

∴DC2=DEAD，

∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠DCI=∠ICB+∠DCB，

∵IC平分∠ACB，

∴∠ACI=∠ICB，

∴∠DIC=∠DCI，

∴DC=DI，

∴DI2=DEAD，

∴線段DI是線段DE與DA的比例中項；

所以此選項說法正確；

⑤∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，

∴∠DCB=∠DBC，

∴DB=DC，

由④得：DC=DI，

∴DB=DC=DI，

∴點D是△BIC的外心；

所以此選項說法正確；

所以說法正確的有：①③④⑤；

故選D．