Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點E在CB的延長線上，連接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°

（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若 AB=AD，AC=2 ，tan∠ADC=3，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

連接OA、OB，如圖1所示：

∵∠ACB=45°，

∴∠AOB=2∠ACB=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠BAE=45°，

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，

∴AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切線

（2）

解：

作AF⊥CD于F，如圖2所示：

∵AB=AD，

∴ ，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC=∠AFD=90°，

∵AC=2 ，

∴在Rt△AFC中，AF=CF=ACsin∠ACF=2 × =2，

∵在Rt△AFD中，tan∠ADC= =3，

∴DF= ，

∴CD=CF+DF=2+ = ．

【解析】（1）連接OA、OB，由圓周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性質得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，即可得出結論；（2）作AF⊥CD于F，證出 ，由圓周角定理得出∠ACB=∠ACD=45°，由三角函數求出AF=CF=ACsin∠ACF=2，DF= ，即可得出CD的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)．