Question

【題目】拋物線y1=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側，與y軸交于點C，OB=OC．

（1）求這條拋物線的表達式；
（2）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，若點C在直線y2=﹣3x+t上，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線與y軸交于點C，

∴C（0，﹣3）．

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，OB=OC，

∴B（3，0）或B（﹣3，0）．

∵點A在點B的左側，m＞0，

∴拋物線經過點B（3，0）．

∴0=9m+3（m﹣3）﹣3．

∴m=1．

∴拋物線的表達式為y1=x2﹣2x﹣3

（2）解：由（1）可知：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∵點C在直線y2=﹣3x+t上，

∴t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n個單位后，則表達式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

則當x≥1﹣n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則表達式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1

【解析】（1）由拋物線的解析式易求點C的坐標，進而可求出點B的坐標，把點B的坐標代入拋物線的解析式可求出m的值，則拋物線的解析式也可求出；（2）由點C在直線y2=﹣3x+t上，可知t=﹣3，若y1向左平移n個單位后，則表達式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，若y2向下平移n個單位后，則表達式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直線與P有公共點，則當x=1﹣n，y3≤y4 ， 進而可求出n的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數圖象的平移和拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．