Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，且，過點O作OE⊥AC于點E，⊙O的切線AF交OE的延長線于點F，弦AC、BD的延長線交于點G．

（1）求證：∠F=∠B；

（2）若AB=10，BG=13，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠GAB=∠B，根據切線的性質得到∠GAB+∠GAF=90°，證明∠F=∠GAB，等量代換即可證明；

（2）連接OG，根據勾股定理求出OG，證明△FAO∽△BOG，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

（1）∵，

∴，

∴∠GAB=∠B，

∵AF是⊙O的切線，

∴AF⊥AO，

∴∠GAB+∠GAF=90°，

∵OE⊥AC，

∴∠F+∠GAF=90°，

∴∠F=∠GAB，

∴∠F=∠B；

（2）連接OG，

∵∠GAB=∠B，

∴AG=BG，

∵OA=OB=5，

∴OG⊥AB，

∴OG＝＝＝8，

∵∠FAO=∠BOG=90°，∠F=∠B，

∴△FAO∽△BOG，

∴，

∴AF＝＝＝．