Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)F是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)F，與直線AB交于點(diǎn)C．

（1）求b和c的值；

（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB．求△PAB的最大面積及點(diǎn)P到直線AC的最大距離；

（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上，在（2）的條件下，是否存在以A，P，D，Q為頂點(diǎn)且AP為邊的平行四邊形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．

【解析】

（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，則點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：；

（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)P，H的坐標(biāo)，將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和，可得函數(shù)表達(dá)式，可求△PAB的面積最大值，此時(shí)設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為d，當(dāng)△PAB的面積最大值時(shí)d最大，利用面積公式求出d.

（3）若存在以，，，為頂點(diǎn)且為邊的平行四邊形時(shí)，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四邊形的對(duì)稱性得到坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解．

解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

令x=0，則y=，令y=0，則x=-3，

則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，

∵點(diǎn)F是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則，

將點(diǎn)代入拋物線表達(dá)式得：，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

，；

（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

則的面積：

當(dāng)時(shí)，

，

且，

∴的最大值為，此時(shí)點(diǎn)，，

設(shè)：到直線的最大距離為，

，解得：；

（3）存在，理由：

點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，，

①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，

若存在以，，，為頂點(diǎn)且為邊的平行四邊形時(shí)，如圖，

三種情形都可以構(gòu)成平行四邊形，

由于平行四邊形的對(duì)稱性可得圖中點(diǎn)Q到x軸的距離和點(diǎn)P到x軸的距離相等，

∴，

即，

解得：（舍去）或或；

②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，如圖：

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：

=3，

∴

∴m=，代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：

=,

∴，

∴，代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=

故點(diǎn)，或，；

故點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或，或，或，．