Question

【題目】如圖①，點P是正方形ABCD的BC邊上的一點，以DP為邊長的正方形DEFP與正方形ABCD在BC的同側，連接AC、FB．

（1）請你判斷FB與AC又怎樣的位置關系？并證明你的結論；

（2）若點P在射線CB上運動時，如圖②，判斷（1）中的結論FB與AC的位置關系是否仍然成立？并說明理由；

（3）當點P在直線CB上運動時，請你指出點E的運動路線，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）FB∥AC，證明見解析；

（2）結論仍成立，理由見解析；

（3）當點P在直線BC上移動時，E的軌跡是圖中的線段GA．

【解析】分析：（1）過F作FM⊥BC于M，證△PFM≌△DPC（AAS），推出DC=PM，FM=PC，求出∠FBM=45°即可．（2）中結論是還正確，過F作FM⊥BC于M，證△PFM≌△DPC（AAS），推出DC=PM，FM=PC，求出∠FBM=45°即可．（3）當點P在直線BC上移動時，E的軌跡是圖中的線段GA，理由是△DCP繞D順時針旋轉90°，到達△DAE 即可以確定E的軌跡．

本題解析：（1）FB∥AC，

證明：過F作FM⊥BC于M，∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中：∠MFP＝∠DPC，∠M＝∠DCP， PF＝DP

∴△PFM≌△DPC（AAS），∵DC=PM，FM=PC，∵DC=BC，

∴BC=DC=PM，∴PM-BP=BC-BP，∴BM=CP，∵FM=CP，∴FM=BM，∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB=0.5（180°-90°）=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC；

（2）結論仍成立，

理由是：過F作FM⊥BC于M，

∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中，

，∴△PFM≌△DPC（AAS），

∵DC=PM，FM=PC，∵DC=BC，∴BC=DC=PM，∴PM+BP=BC+BP，

∴BM=CP，∵FM=CP，∴FM=BM，∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB=0.5（180°-90°）=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC；

（3）當點P在直線BC上移動時，E的軌跡是圖中的線段GA．