Question

【題目】二次函數y=的圖象與x軸交于點A和點B，以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）求出m的值并求出點A、點B的坐標．

（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣2，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）P為AO中點時，OE的最大值為；（3）存在，見解析.

【解析】

（1）利用二次函數的定義求出m的知，再令y=0即可得出點A，B坐標；
（2）設PA=t（-3＜t＜0），則OP=3-t，如圖1，證明△DAP∽△POE，利用相似比得到OE=- ，然后利用二次函數的性質解決問題；
（3）討論：當點P在y軸左側時，如圖2，DE交AB于G點，證明△DAP≌△POE得到PO=AD=4，則PA=1，OE=1，再利用平行線分線段成比例定理計算出AG= ，則計算S△DAG即可得到此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；當P點在y軸右側時，如圖3，DE交AB于G點，DP與BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，則PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行線分線段成比例定理計算出OG和BQ，然后計算S四邊形DGBQ得到此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積．當點P和點A重合時，點E和和點O重合，此時，△PED不是等腰三角形．

（1）∵二次函數y=（m﹣1）﹣6x+9，

∴m2+m=2且m﹣1≠0，

∴m=﹣2，

∴二次函數解析式為y=﹣3x2﹣6x+9，

令y=0，

∴0=﹣3x2﹣6x+9，

∴x=1或x=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）設PA=t（﹣3＜t＜0），則OP=3﹣t，

∵DP⊥PE，

∴∠DPA=∠PEO，

∴△DAP∽△POE，

∴，即，

∴OE=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，OE有最大值，

即P為AO中點時，OE的最大值為；

（3）存在．

當點P在y軸左側時，如圖1，DE交AB于G點，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴=4，

∴AG=，

∴S△DAG=××4=，

∴P點坐標為（﹣4，0），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為；當P點在y軸右側時，如圖2，DE交AB于G點，DP與BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴，

∴OG=，

同理可得BQ=，

∴S四邊形DGBQ=×（+1）×4+×4×=

∴當點P的坐標為（4，0）時，此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．

當點P和點A重合，此時，點E和點O重合，∴DP≠OP，此時，△PDE不是等腰三角形．