Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，點E、F在邊AD上運動，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．點H在圓弧上運動上，點H所運動的圓弧的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據全等三角形的性質證明∠AHB=90°，即點H是以AB為直徑的圓上一點，再根據弧長公式求解即可得到答案．

∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，

即∠AHB=90°，
∴點H是以AB為直徑的圓上一點，

以AB的中心O為圓心，以OA為半徑畫弧，與BD交于I，如圖：

當E點運動到D的位置以及F點運動到A的位置時，是H運動的軌跡的一個端點，

此時，I剛好與H重合（恰好是正方形的中心），

∴此時的圓心角恰好是90°，

根據弧長公式得到H運動的弧長為：，

故答案為：．