Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別為AC，BC上的點，且CE＝CD，連接DE，AD，BE，F為線段AD的中點，連接CF．

（1）求證：BE＝2CF；

（2）如圖2，把△DEC繞點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），其他條件不變，試探究線段BE與CF的位置關系，并說明理由；

（3）如圖3，把△DEC繞點C順時針旋轉45°，BE，CD交于點G．若∠DCF＝30°，求及的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）BE⊥CF．證明見解析；

（3），

【解析】試題分析：（1）根據已知條件易證△BCE≌△ACD，即可得BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，再由F為線段AD的中點可得CF＝AF＝DF＝ AD，即可證得結論；（2）延長CF到H，使HF＝CF，連接AH、DH，易得四邊形AHDC為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD，再由∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD，即可得∠CAH＝∠BCE，再判定△CAH≌△BCE，根據全等三角形的性質可得∠ACH＝∠CBE，所以∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°，即可得結論BE⊥CF ；（ 3）設BE，CF相交于點O，則∠GOC＝90°，作BC的垂直平分線，交BG于點M，連接CM則BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，所以∠OMC＝2∠MBC，再求得∠DCA＝45°，∠OMC＝30°，設OG＝x，則CG＝2x，OC＝ x，BM＝CM＝2x，OM＝OC＝3x，MG＝3x－x＝2x，求得BG＝BM＋MG＝2x＋2x，BO＝BM＋MO＝2x＋3x，即可得， ,過E作BC的垂線，交BC的延長線于N,則Rt△BNE∽Rt△BOC，可得 ,設EN＝t，則CN＝t，CE=t，BN＝(＋2)t，BC＝(＋2)t－t＝(＋1)t,求得的值，又因AB＝BC，CD＝CE，即可求得的值.

試題解析：

（1）證明：∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°

∴△BCE≌△ACD

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC

∵F為線段AD的中點

∴CF＝AF＝DF＝ AD

∴BE＝2CF

（2）BE⊥CF．證明如下：

證明：如圖2，延長CF到H，使HF＝CF，連接AH、DH

∵AF＝DF，∴四邊形AHDC為平行四邊形

∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD

∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD

∴∠CAH＝∠BCE

又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE

∴∠ACH＝∠CBE

∴∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°

∴BE⊥CF

（3）如圖3，設BE，CF相交于點O，

則∠GOC＝90°

作BC的垂直平分線，交BG于點M，連接CM

則BM＝CM，∠MBC＝∠MCB

∴∠OMC＝2∠MBC

∵AC⊥DE，∠CDE＝45°，∴∠DCA＝45°

∵∠DCF＝30°

∴∠ACO＝∠CBE＝15°，∴∠OMC＝30°

設OG＝x，則CG＝2x，OC＝x，BM＝CM＝2x

OM＝OC＝3x，MG＝3x－x＝2x

∴BG＝BM＋MG＝2x＋2x，BO＝BM＋MO＝2x＋3x

∴ ＝ ＝＋1

＝ ＝＋2

過E作BC的垂線，交BC的延長線于N

則Rt△BNE∽Rt△BOC，∴ ＝ ＝＋2

設EN＝t，則CN＝t，CE＝t，BN＝(＋2)t，BC＝(＋2)t－t＝(＋1)t

∴ ＝ ＝

∵AB＝BC，CD＝CE，∴ ＝