Question

【題目】如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線．
（2）如圖2，已知△ABC是特異三角形，且∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數．
（3）如圖3，△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數為整數，請求出其特異線的長度；若它的頂角度數不是整數，請直接寫出頂角度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一條特異線

（2）解：如圖2中，

當BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=DB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．

如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

當CD為特異線時，不合題意．

∴符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°

（3）解：如圖3中，

當BD是特異線時，有兩種情形，如果AD=BD=BC，設∠A=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，

設AD=BD=BC=a，

由△BCD∽△ABC得到 ，

∴ ，

∴a2+2a﹣4=0，

∴a=﹣1+ 或﹣1﹣ （舍棄）．

如果AD=BC，BC=CD，設∠A=x，則2x+2x+3x=180°解得x=（ ）°．

當AD是特異線時，如果DA=DB，CA=CD，設∠B=∠C=x，則x+2x+2x=180°，解得x=36°，

∴∠BAC=108°，不符合題意．

∴△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角度數為整數，其特異線的長度為﹣1+ ，

若它的頂角度數不是整數，則頂角度數為（ ）°

【解析】（1）由DE是線段AC的垂直平分線，易得△EAC是等腰三角形；又∠B=2∠C，利用外角關系易得∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，特異線可證。
（2）由△ABC是特異三角形，且∠A=30°，易得若∠A分別為等腰三角形的頂角時，以及∠A為底角時∠ADB,∠ABD為頂角的情況，可能符合題意；還要考慮AD為特異線的情況；最后要注意檢驗∠B是否為鈍角，可得最后結果
（3）當BD是特異線時，有兩種情形，如果AD=BD=BC則可以利用相似可得a的結果，如果AD=BC，BC=CD解得頂角為分數，不用計算a
若當AD是特異線時，如果DA=DB，CA=CD算得頂角為鈍角，不符合要求，舍去。最后總結兩種結果。