Question

【題目】如圖，在中，，是過點的直線，于，于點；

（1）若、在的同側（如圖所示）且．求證：；

（2）若、在的兩側（如圖所示），且，其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）由已知條件，證明ABD≌△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC；
（2）同（1），先證ABD≌△CAE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC．

（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠ABC=∠90，

在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90，∠EAC+∠ACE=90，

∴∠BAD+∠CAE=90．

∠BAC=180-(∠BAD+∠CAE)=90．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一樣可證得Rt△ABD=Rt△ACE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠CAE+∠BAD=90，即∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．