Question

【題目】菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上．
（1）如圖1，若E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF；
（2）如圖2，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】證明：（1）連接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°﹣∠B=120°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°，
∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°，
∴∠FEC=∠CFE，
∴EC=CF，
∴BE=DF；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．

【解析】（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據菱形的性質，易得△ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，繼而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；
（2）首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形．