Question

如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=4cm，若點F從點B開始以2cm/s的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒，當t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O．
（1）設△EGA的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式；
（2）在點F運動過程中，試猜想△GFH的面積是否改變？若不變，求其值；若改變，請說明理由；
（3）請直接寫出t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點．

Answer 1

【答案】分析：（1）為了求出三角形的面積，我們要作高線．通過特殊角的三角函數求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．這樣，這個三角形的面積就可用含t的代數式表示出來了．
（2）首先由兩步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，證得BF=CH，然后分三種情況：
①0＜t＜6時，②t=6時，③t＞6時；
在上述三種情況中，通過線段間的等量代換，都可證得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面積相等，由于△ABC的面積是定值，所以△FHG的面積不變．
（3）分兩種情況：①點F在線段BC上，②點F在BC的延長線上；可通過線段間的等量關系，求出BF的值，從而求得t的值．
解答：解：（1）作EM⊥GA，垂足為M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE•sin60°=2，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴==，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=t．

（2）猜想：不變．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴=，=，
∴=，
∴=，
∴BF=CH．
情況①：0＜t＜6時，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情況②：t=6時，有FH=BC；
情況③：t＞6時，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S_△GFH=S_△ABC=36．
綜上所述，當點F在運動過程中，△GFH的面積為36cm²．

（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①當點F在線段BC邊上時，若點F和點C是線段BH的三等分點，則BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵點F的運動速度為2cm/s，
∴t=3．
∴當t=3時，點F和點C是線段BH的三等分點；
②當點F在BC的延長線上時，若點F和點C是BH的三等分點，則BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵點F的運動速度為2cm/s，
∴t=12．
∴當t=12時，點F和點C是線段BH的三等分點；
綜上可知：當t=3s或12s時，點F和點C是線段BH的三等分點．
點評：此題主要考查了平行線的性質、解直角三角形、相似三角形的判定和性質、三角形面積的計算方法等知識，同時還涉及分類討論的數學思想，難度較大．