Question

如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑的半圓P與y軸交于點M，以AB為一邊作正方形ABCD。

（1）求C，M兩點的坐標；
（2）試判斷直線CM與半圓P的位置關系，并證明你的結論。
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得△QMC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）聯結PM，因A、B、M均在半圓P上，且AB=10， ∴PM=PA=PB=5， ∴OP=OB-PB=3， 在Rt△POM中，由勾股定理得：OM=， M的坐標為（0，4）， ∵正方形ABCD， ∴矩形OBCE，AB=CB=10， ∴CE=OB=8， ∴C的坐標為（8，10）； （2）直線CM是半圓P的切線； 聯結CM，CP， 由（1）可知，BM=OB-OM=10-4=6， 在Rt△CEM中，CM=， ∵BC=10， ∴BC=CM， ∵BP=PM，CP=CP， ∴△CMP≌△CBP， ∴∠CMP=∠CBP=90°， ∴直線CM是半圓P的切線； （3）存在； 作M關于x軸的對稱點M1（0，-4）， 聯結M1C，與x軸交于點Q，Q為所求， 可求得M1C的解析式為：， 當y=0時，x=， ∴點Q的坐標為（，0）。