Question

.(12分)如圖1：⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點G作弦CE⊥AB，在上取一點D，分別作直線CD、ED交直線AB于點F、M。

（1）求∠COA和∠FDM的度數；(3分)

（2）求證：△FDM∽△COM；(4分)

（3）如圖2：若將垂足G改取為半徑OB上任意一點，點D改取在上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點F、M，試判斷：此時是否仍有△FDM∽△COM？證明你的結論。(5分)

            

 

Answer 1

（1）∵AB為直徑，CE⊥AB

          ∴＝，CG＝EG

          在Rt△COG中，

∵OG＝OC

          ∴∠OCG＝30⁰，∠COA＝60⁰

          又∵∠CDE的度數

＝弧CAE的度數

＝的度數

＝∠COA的度數＝60⁰

          ∴∠FDM＝180⁰－∠CDE＝120⁰

（2）證明：

∵∠COM＝180⁰－∠COA＝120⁰

 ∴∠COM＝∠FDM

在Rt△CGM和Rt△EGM中

  ∵　　∴Rt△CGM≌Rt△EGM　　∴∠GMC＝∠GME

  又∠DMF＝∠GME　　∴∠OMC＝∠DMF　　∴△FDM∽△COM

（3）解：結論仍成立。

∵∠FDM＝180⁰－∠CDE

 ∴∠CDE的度數＝弧CAE的度數＝的度數＝∠COA的度數

 ∴∠FDM＝180⁰－∠COA＝∠COM

       ∵AB為直徑，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中

∵

  ∴Rt△CGM≌Rt△EGM

  ∴∠GMC＝∠GME

  ∴△FDM∽△COM

 

 解析:略