Question

【題目】我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC'，連接B'C'．當α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

特例感知：

（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．

①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=　 　BC；

②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為　 　．

猜想論證：

（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①;②4;(2) AD=BC.

【解析】試題分析：（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解決問題；②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；
（2）如圖1中，延長AD到Q，使得AD=DQ，連接B′Q，C′Q，根據∠QB′A=∠BAC，QB′=AC′=AC，AB′=AB，即可得到△AQB′≌△BAC，即可解決問題．

試題解析：

解：（1）①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=BC；

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

∵DB′=DC′，

∴AD⊥B′C′，

∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=120°，

∴∠B′=∠C′=30°，

∴AD=AB′=BC，

故答案為．

②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為4．

理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，

∵AB=AB′，AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴AD=B′C′=BC=4，

故答案為4．

（2）猜想AD＝BC．

證明：如圖，延長AD至點Q，則△DQB'≌△DAC'，

∴QB'=AC'，QB'∥AC'，

∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，

∵∠BAC+∠B'AC'=180°，

∴∠QB'A=∠BAC，

又由題意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，

∴△AQB'≌△BCA，

∴AQ=BC=2AD，

即AD＝BC．