Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．

（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．

Answer 1

（1）證明見解析;（2）BC=6．

試題分析：（1）利用等腰三角形的性質得到∠B=∠C和∠B=∠OPB，則∠OPB=∠C，于是可判斷OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，然后根據切線的判定定理可得到PD是⊙O的切線；
（2）由AB為直徑得∠APB=90°，根據等腰三角形的性質得BP=CP，所以∠BAP=60°，在RtBAP中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AP=AB=3，BP=AP=3，所以BC=2BP=6．
試題解析：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OP=OB，
∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：連結AP，如圖，

∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴BP=CP，
∵∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
在RtBAP中，AB=6，∠B=30°，
∴AP=AB=3，
∴BP=AP=3，
∴BC=2BP=6．