Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連接DE，作EF⊥DE，EF與AB交于點F，設CE=x，BF=y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若設線段AB的長為m，上述其它條件不變，m為何值時，函數y的最大值等于3？

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，EF⊥DE，易證得△DEC∽△EFB，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得y與x的函數關系式；
（2）將y=-

1

4

x²+

3

2

x配方，可得y=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，則可求得x為何值時，y的值最大，最大值是多少；
（3）根據（1）可得函數關系式：y═-

1

m

x²+

6

m

x=-

1

m

（x-3）²+

9

m

，又由函數y的最大值等于3，即可求得m的值．

解答：解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠DEC+∠BEF=90°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠DEC=∠BFE；
在矩形中，∠B=∠C=90°，
∴△DEC∽△EFB，
∴

CD

EC

=

BE

BF

，
∴

4

x

=

6-x

y

，
∴y與x的函數關系式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x；

（2）∵y=-

1

4

x²+

3

2

x=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，
∴當x=3時，y的值最大，最大值為：y_最大=

9

4

；

（3）由上知當AB=m時，

m

x

=

6-x

y

，
即y=-

1

m

x²+

6

m

x=-

1

m

（x-3）²+

9

m

，
∵函數y的最大值等于3，
∴

9

m

=3，
解得：m=3，
∴當m=3時，y_最大值=3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及二次函數的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與函數思想的應用．