Question

【題目】已知如圖，等腰中，于點，點是延長線上一點，點是線段上一點，下面的結論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①連接BO，根據等腰三角形的性質可知AD垂直平分BC，從而得出BO=CO，又OP=OC,得到BO=OP，再根據等腰三角形的性質可得出結果；

②證明∠POC=60°，結合OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；

③在AC上截取AE=PA，連接PE，先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP；

④根據∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷．

解：①如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正確；

②∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等邊三角形，故②正確；
③如圖2，在AC上截取AE=PA，連接PE，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP，故③正確；

④由①中可得，∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∵點O是線段AD上一點，

∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故④不正確；

故①②③正確．
故選：A．