Question

【題目】感知：

如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．判斷DB與DC的大小關系并證明．

探究：

如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DB與DC的大小關系變嗎？請說明理由．

應用：

如圖③，四邊形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB﹣AC＝　 　．（用含a的代數式表示）

Answer 1

【答案】感知：BD＝DC；探究：見解析；應用：a．

【解析】

感知：判斷出△ADC≌△ADB，即可得出結論；探究：欲證明DB＝DC，只要證明△DFC≌△DEB即可．應用：先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結合BD＝EB即可解決問題．

感知：解：BD＝DC，

理由：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠DAB，

∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，

∴∠C＝90°＝∠B，

在△ADC和△ADB中，，

∴△ADC≌△ADB（AAS），

∴BD＝DC；

探究：

證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB，

∴DC＝DB；

應用：

解；如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB，

∴DF＝DE，CF＝BE，

在Rt△ADF和Rt△ADE中，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE，

∴AF＝AE，

∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，

在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，

∴BE＝BD＝a，

∴AB﹣AC＝2BE＝a．