Question

已知關于x的一元二次方程x²-x-2m=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是

 

；
關于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是

 

；
已知一元二次方程4x²+mx+9=0有兩個相等的實數根，則m=

 

，此時相等的兩個實數根為

 

．

Answer 1

分析：（1）由方程x²-x-2m=0有兩個不相等的實數根，得到△＞0，即△=1²-4×1×（-2m）=1+8m＞0，解不等式即可得到實數m的取值范圍；
（2）由關于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根，則k≠0且△＞0，即△=（k+2）²-4×k×

k

4

=4k+4＞0，解兩個不等式即可得到實數m的取值范圍；
（3）由方程4x²+mx+9=0有兩個相等的實數根，則△=0，即△=m²-4×4×9=0，解得m=±12，然后分別代入原方程解方程即可．

解答：解：（1）∵方程x²-x-2m=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，即△=1²-4×1×（-2m）=1+8m＞0，
解得m＞-

1

8

，
∴實數m的取值范圍是m＞-

1

8

．
（2）∵關于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根，
∴k≠0且△＞0，即△=（k+2）²-4×k×

k

4

=4k+4＞0，
解得k＞-1，
∴實數k的取值范圍是k＞-1且k≠0．
（3）∵方程4x²+mx+9=0有兩個相等的實數根，
∴△=0，即△=m²-4×4×9=0，
解得m=±12，
當m=12，方程變為：4x²+12x+9=0，（2x+3）²=0，
解得x₁=x₂=-

3

2

；
當m=-12，方程變為：4x²-12x+9=0，（2x-3）²=0，
解得x₁=x₂=

3

2

；
故答案為：（1）m＞-

1

8

；（2）k＞-1且k≠0；（3）±12；當m=12，x₁=x₂=-

3

2

；當m=-12，x₁=x₂=

3

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了一元二次方程的定義和解法．