Question

某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產進行了調研，結果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．
（1）  一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價-成本）
（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎？若該公司能在一個月內售出此種商品30 000件，請你計算一下該公司在一個月內最少獲利多少元？

Answer 1

（1）5元 （2）（3）110000元

試題分析：
解：（1）由圖象知：3月份每件商品售價6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售時的利潤為5元．
（2）  由圖知，拋物線的頂點為（6，4），故可設拋物線的解析式為Q=．
∵拋物線過（3，1）點，∴a（3-6）²+4=1．解得a=．故拋物線的解析式為Q=，即，其中t=3，4，5，6，7．
（3）  設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M="k" t+ b．
∵線段經過（3，6）、（6，8）兩點，∴M=，其中t=3， 4，5，6，7．
故可得：一件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為：W=M-Q=，
其中t=3，4，5，6，7．當t=5時，W有最小值為元，即30000件商品一個月內售完至少獲利30000×=110000（元）．答：該公司一個月內至少獲利110000元．
點評：該題相對較難，涉及的知識點較多，其中對于函數最值的運用是常考題，學生可通過畫圖協助分析。