Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；      
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是以AC為斜邊的Rt△時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(4)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為N，當(dāng)△ACN的面積為時(shí)，求直線AN的解析式.

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3  (2) P₁(1,1),P₂(1,2)   (3)

試題分析：
解：（1）將三點(diǎn)代入y=ax²+bx+c中，易求解析式為：
對(duì)稱軸為：直線 
（2）設(shè)點(diǎn)P（1，y）是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作CF⊥l于F，l交x軸于E，
則AC²＝AO²＋CO²＝10，CP²＝CF²＋PF²＝1＋（3－y）²＝
AP²＝AE²＋PE²＝4＋y², ∴由CP²＋AP²＝AC²，
得：＋4＋y²＝10，解得或
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（1，1）、P₂（1, 2）
解法二; 用△相似解法更簡(jiǎn)單如下：
∵CP⊥AP，∴△CPF∽△PAE，∴，∴∴解得或
（3）
設(shè)點(diǎn)M（1，m）, 與（2）同理可得：AC²＝10，CM²＝，AM²＝4＋m²
①當(dāng)AC＝CM時(shí)，10＝，解得：m＝0或m＝6（舍去）
②當(dāng)AC＝AM時(shí)，10＝4＋m², 解得：m＝或m＝
③當(dāng)CM＝AM時(shí)，＝4＋m²，解得：m＝1
檢驗(yàn)：當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)有4個(gè)，
M坐標(biāo)為(1，0) 、(1，)、(1，－)、(1，1)

(4)設(shè)直線AN的解析式為，且交y軸于點(diǎn)K，∵過(guò)點(diǎn)A（―1, 0），∴，
∴K（0，k），∵N是直線AN與拋物線的交點(diǎn)，∴，解得x＝3―k，
或x＝―1（舍去），∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝3―k（k＜3）  
由S_△ACN＝S_△ACK＋S_△CKN＝CK·OA＋CK·NJ＝（3―k）×1＋（3―k）²
＝
令＝，解得k＝（舍去），或k＝，
∴直線AN的解析式為
點(diǎn)評(píng)：熟知上述性質(zhì)概念，本題綜合性很強(qiáng)，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)很多，要認(rèn)真審題才可解之，還需做輔助線求得，在二問(wèn)中有兩個(gè)答案易漏求，求得方法也不唯一，三問(wèn)中可求有五個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)不合題意需舍去，四問(wèn)中同樣也有一個(gè)要舍去，計(jì)算量較多，易出錯(cuò)，難度較大，屬于難題。