Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸的一個交點為，另一個交點為A，且與y軸相交于C點

（1）求m的值及C點坐標；

（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由

（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(直接寫出答案)；

Answer 1

【答案】(1)

(2) 存在,

(3)點坐標為()或()

【解析】

將點坐標代入得到的值，再令得到點坐標；

點在直線上方的拋物線上，要使面積最大，則點的位置應在拋物線上且離直線的距離最遠處，把直線向上平移和拋物線只有一個公共點時，此時的交點即為點的位置，然后根據二次函數的性質，求出值和點坐標.

連接交于點，根據菱形的性質得到幾何關系，用中點坐標公式和系數與直線位置的特殊關系，確定點坐標并求出直線的解析式，聯立直線的解析式與拋物線解析式，即可求出點坐標.

解： 將點的坐標代入二次函數，即，解得，故二次函數解析式為，令，解得，故點坐標為;

(2)存在，

理由：，

直線的解析式為，

當直線向上平移單位后和拋物線只有一個公共點時，面積最大，

整理得：

，

如圖2、圖3所示，連接交于點。

因為四邊形是菱形，所以為的中點，

因為點的坐標分別為、，所以由中點坐標公式得點坐標為，

由(2)可知直線的解析式為，

由于，所以設直線的解析式為，

將代入，求得直線的解析式為，

將直線的解析式與拋物線解析式聯立得：

，消去得：，

解得：，

將代入直線的解析式得，

將代入直線的解析式得，

故當四邊形為菱形時，點坐標為()或().