Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（－6，0）B（2，0）C（0，8）
（2） （3），
（4）存在

試題分析：（1）解方程得，　
∵點 B 在x軸的正半軸上， 點C在y軸的正半軸上， 且
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線的對稱軸是直線
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）
（2）∵點C（0，8）在拋物線的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得
　解得   
∴所求拋物線的表達式為
（3）依題意，，則，
∵，，∴
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴　即
∴EF＝
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則
∴＝　∴FG＝·＝
∴
＝
自變量m的取值范圍是
（4）∵　　且，
∴當時，S有最大值，　　
∵，∴點E的坐標為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形．　
點評：此類題目難度都不小，學生應該多嘗試做此類練習題，一般來講，都有一定規(guī)律在里面，學生可以多做，以求舉一反三