Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在BC上，(不與B、C重合)，FM⊥AD，交射線AD于點M．

(1)如圖1，當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，請直接寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，不需要證明.

(2)如圖2，當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，請寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，并且證明你的結論.

(3)如圖3，當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，若BE＝，∠AFM＝15°，求AM的長度.

Answer 1

【答案】(1)AB+AM＝BE；(2)AM＝BE+AB；(3)AM＝3﹣．

【解析】

(1)證明△ABE≌△EHF(AAS)，可得結論：BE＝AM+AB；

(2)根據AAS證明△ABE≌△EHF，可得結論：AM＝BE+AB；

(3)首先由∠AFM＝15°，易得∠EAB＝30°，由△ABE≌△EHF，根據全等三角形的性質易得AB＝EH，利用銳角三角函數易得AB，最后可以計算AM的長．

(1)AB+AM＝BE．理由是：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC＝∠BAD＝90°

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝∠AEB+∠HEF＝90°，

∴∠BAE＝∠HEF，

在△ABE與△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF(AAS)，

∴AB＝EH，

∵FM⊥AD，

∴∠AMH＝∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM＝BH，

∴BE＝BH+EH＝AM+AB；

(2)如圖2，AM＝BE+AB．

證明：延長MF，交BC延長線于H，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAM＝∠B＝90°，

∵FM⊥AD，

∴∠AMF＝90°，

∴四邊形ABHM為矩形，

∴AM＝BH，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEH＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠FEH＝∠BAE，

∵∠B＝∠EHF＝90°，

∴△ABE≌△EHF(AAS)，

∴AB＝EH，

∴AM＝BH＝BE+EH＝BE+AB．

(3)如圖3，FM與BC相交于H．

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠EAF＝45°，

同理得：四邊形ABHM是矩形，

∴AM＝BH，

∵AB∥FM，

∴∠BAF＝∠AFM＝15°，

∴∠BAE＝∠EAF﹣∠BAF＝45°﹣15°＝30°．

在Rt△ABE中，BE＝，

AB＝BE＝3．

同理得：△ABE≌△EHF，

∴EH＝AB＝3，

∴BH＝EH﹣BE＝3﹣，

∴AM＝BH＝3﹣．