Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，點E是BD上任意一點，點O是AC的中點，AF∥EC交EO的延長線于點F，連接AE，CF.

(1)判斷四邊形AECF是什么四邊形，并證明；

(2)若點E是BD的中點，四邊形AECF又是什么四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】(1)四邊形AECF是平行四邊形．證明見解析；(2)四邊形AECF是菱形．理由見解析.

【解析】

（1）由ASA證明△AOF≌△COE，得出OF=OE，即可得出結論；

（2）由直角三角形斜邊上的中線性質得出AE=BD，CE=BD，得出AE=CE，即可得出結論．

(1)四邊形AECF是平行四邊形．

證明如下：∵點O是AC的中點，

∴AO＝CO.∵AF∥EC，∴∠OAF＝∠OCE.

在△AOF和△COE中，

∵

∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE.又∵AO＝OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

(2)四邊形AECF是菱形．

理由如下：∵∠DAB＝∠BCD＝90°，點E為BD的中點，

∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE.

由(1)知四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF是菱形．