Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），直線經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是x軸下方拋物線上一點，連接AC，過點P作PQ∥AC交BC于點Q，過點Q作x軸的平行線，過點P作y軸的平行線，兩條直線相交于點K，PK交BC于點H，設QK的長為t，PH的長為d，求d與t之間的函數關系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，PK交x軸于點R，過點R作RT⊥PQ，垂足為T，當PK=PT時，將線段QT繞點Q逆時針旋轉90得到線段QL，M是線段PQ上一動點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N，連接ON、ML，當ML∥ON時，求N點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-4x+3（2）（3）

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得點C的坐標為（0，3），把B、C兩點坐標代入二次函數的解析式可求得b、c的值，即可得到二次函數的解析式；

（2）由（1）中所求二次函數的解析式易得點A的坐標為（1，0），結合點C（0，3）的坐標可得tan∠ACO=，由OB=OC易得∠OCB=∠OBC=45°，結合PK∥y軸，QK∥x軸可得∠KHQ=∠KQH=45°，由此可得KH=QK=t，由PQ∥AC可得∠ACB=∠PQB，結合∠OCB=∠PHB=∠PQB+∠QPK，可得∠QPK=∠ACO，則tan∠QPK=，由此可得d=2t；

（3）如下圖2，延長交于點，延長交直線于點，過點作軸，垂足為，延長交于點，先由已知條件解PR=t，OR=3-t，由此可得點P的坐標為（3-t，-t），將點P的坐標代入解得t1=0（舍去），t2=1，由此可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ；結合已知條件進一步可求得點D的坐標為，由此即可求得直線OD的解析式為y=x，再由已知求出直線AC的解析式即可由此求出直線OD和AC的交點N的坐標了.

試題分析：

（1）把x=0代入y=-x+3，得y=3,

∵拋物線經過 ，

∴ 解得

∴，

∴拋物線為y=-4x+3

（2）如下圖1，令，即，解得，∴ 點坐標為，∴ ，∵ 點坐標為，∴ ，∴

∵ ， ，∴ ， ∴， ∵軸，

∴，∵ 軸， 軸，∴，

∴，∴

∵，∴ ，∵ ，

∴，

即 ∴， ∵，

∴span>

∵，∴ ；

（3）如下圖2，延長交于點，延長交直線于點，過點作軸，垂足為，延長交于點，

∵， ， ， ，

∴，

∴， ， ，

∵，

∴

∵，

∴， ，

∴,

將代入中得， ，

解得 (舍)， ，

∴， ， ， ， ， ，

， ， ， ，

∵，

∴，

∴， ，

∴

∴，

∵，

∴，

，由題意知，四邊形是矩形，

∴，

由旋轉知， ， ，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∴， ，

∵，

∴，

∵， ，

∴

∴，

∵

∴， ，由題意知四邊形為矩形， ， ， ，

，

∴

設直線的解析式為，將代入得，解得，

∴直線的解析式為，設直線的解析式為，將， 代入得，解得，

∴直線的解析式為，令，解得，

∴點坐標為.