Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線;
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接AC，

∵點CD是半圓O的三等分點，

∴，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠OCE=∠E，

∵CE⊥AD，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線

（2）

解：

四邊形AOCD為菱形．

理由是：

∵，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴平行四邊形AOCD是菱形．

【解析】（1）連接AC，由題意得 ， ∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結論；
（2）四邊形AOCD為菱形．由，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的判定方法的相關知識，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．