Question

（2013•南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC；
（2）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：過點A作AF∥CD交BC于點F，
則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
設BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
經檢驗：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的長為：3或4．

點評：此題考查了等腰梯形的性質、相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．