Question

【題目】閱讀以下內容，并回答問題：

若一個三角形的兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍，我們稱這樣的三角形為奇異三角形．

（1）命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是 命題（填“真”或“假”）；

（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的內角∠A、∠B、∠C所對邊的長分別為a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（點C與點A、B不重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若存在點E，使AE=AD，CB=CE．求證：△ACE是奇異三角形．

Answer 1

【答案】（1）真（2）（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）直接根據奇異三角形的定義直接得出結論；

（2）先根據勾股定理得出a2+b2=c2，再由Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a可知a2+c2=2b2，把a當作已知條件表示出b，c的值，進而可得出結論；

（3）連接BD，根據圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB與在Rt△ADB中可得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，根據點D是半圓的中點，得出．故可得出AD=BD．通過等量代換可得出AC2+CB2=2AD2．再由CB=CE，AE=AD可得出AC2+CE2=2AE2故可得出結論．

試題解析：（1）∵若一個三角形的兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍，我們稱這樣的三角形為奇異三角形，

∴等邊三角形一定是奇異三角形是真命題．

故答案為：真；

（2）∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2①．

∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，

∴a2+c2=2b2②．

由①②得：b=a，c=a．

∴a：b：c=．

（3）連接BD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°．

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，

∵點D是半圓的中點，

∴．

∴AD=BD．

∴AB2=AD2+BD2=2AD2．

∴AC2+CB2=2AD2．

又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2+CE2=2AE2．

∴△ACE是奇異三角形．