Question

【題目】△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如圖1，連DE，求∠BDE的度數；

（2）如圖2，過E作EF⊥AB于F，求證：∠FED=∠CED；

（3）在（2）的條件下，若BF=2，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∵AC=BC，BD=AC，

∴BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC= =67.5°，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，

在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED，

∴∠BDE=∠ACD=22.5°

（2）

解：由（1）有∠BDE=22.5°，

∵EF⊥AB，

∴∠BFE=∠DFE=90°，

∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，

由（1）有，△ADC≌△BED，

∴DC=DE，

∴∠DEC=∠BCD=67.5°，

∴∠DEF=∠DEC，

即：∠FED=∠CED

（3）

解：如圖2，

由（1）知CD=DE，

∴∠DCE=∠DEC=67.5°，

∴∠CDE=45°，

過D作DM⊥CE于M，

∴CM=ME= CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，

∵EM⊥DM，EF⊥DB，

∴EF=ME，

∵∠BFE=90°，∠B=45°，

∴∠BEF=∠B=45°，

∴EF=BF，

∴CE=2ME=2EF=2BF=4．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質和SAS可證△BDE≌△ACD，再根據等腰直角三角形的性質即可得到∠BDE的度數；（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）結論推導出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．（3）由（1）知CD=DE，根據等腰三角形的性質和角的和差關系可得∠CDE=45°，過D作DM⊥CE于M，根據角平分線的性質以及等量關系即可得到CE的長
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形三邊關系的相關知識，掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊．