Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AB上一點，且AE=2，M為AD上一動點（不與A、D重合），AM=x，連結EM并延長交CD的延長線于F，過M作MG⊥EF交直線BC于點G，連結EG、FG．

（1）如圖1，若M是AD的中點，求證：①△AEM≌△DFM；②△EFG是等腰三角形；

（2）如圖2，當x為何值時，點G與點C重合？

（3）當x=3時，求△EFG的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當x=2或6時，點G與點C重合（3）

【解析】試題分析：（1）①根據已知條件，利用ASA即可證得△AEM≌△DFM；②由△AEM≌△DFM可得EM=FM，又因MG⊥EF，根據線段垂直平分線的性質即可得EG=FG，結論得證；（2）當點G與點C重合時，易證△AEM∽△DMC，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得x值；（3）過G作GN⊥AD于N（如圖3所示），證明△AEM∽△NMG，根據相似三角形的性質可求得MN=2AE=4，利用勾股定理求得EM的長，再證明△DMF∽△NGM，根據相似三角形的性質求得FM的長，進而的EF的長，根據△EFG的面積=EFGM即可得結論.

試題解析：

（1）證明：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=∠MDF=90°，

∵M是AD的中點，

∴AM=DM，

在△AEM和△DFM中，，

∴△AEM≌△DFM（ASA）；

②∵△AEM≌△DFM，

∴EM=FM，

又∵MG⊥EF，

∴EG=FG，

∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：當點G與點C重合時，

∵∠A=∠EMC=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠CMD=∠CMD+∠DCM，

∴∠AME=∠DCM，

∴△AEM∽△DMC，

∴，

∴，

解得：x1=2，x2=6，

∴當x=2或6時，點G與點C重合；

（3）解：過G作GN⊥AD于N，如圖3所示：

∴∠A=∠GNM=90°，GN=CD=6，

∴∠AME+∠NMG=∠NMG+∠NGM=90°，

∴∠AME=∠MGN，

∴△AEM∽△NMG，

∴====，

∴MN=2AE=4，

由勾股定理得：EM===，

∴GM=2EM=2，

∵AB∥CD，

∴△DMF∽△NGM，

∴=，

解得：MF=，

∴EF=EM+MF=，

∴△EFG的面積=EFGM=．