Question

如圖所示，OACB是矩形，C（a，b），點D為BC中點，反比例函數y=

4

x

的圖象經過點D且交AC于點E．
（1）求證：△AOE與△BOD的面積相等；
（2）求證：點E是AC的中點；
（3）當OE⊥DE時，試求OB²-OA²的值．

Answer 1

（1）證明：∵E，D點都在反比例函數圖象上，
∴E，D橫縱坐標乘積相等，
∵△AOE為

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面積為：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE與△BOD的面積相等；

（2）證明：∵點D為BC中點，△AOE與△BOD的面積相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴點E是AC的中點；

（3）∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，則BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．