Question

已知：如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周長不變為定值8．
證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，

∠APB=∠BPH ∠A=∠BQP BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=QB．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）．
∴CH=QH．
∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．