Question

【題目】綜合與實踐

情景再現

我們動手操作：把正方形ABCD，從對角線剪開就分剪出兩個等腰直角三角形，把其中一個等腰三角形與正方形ABCD重新組合在一起，圖形變得豐富起來，當圖形旋轉時問題也隨旋轉應運而生．

如圖①把正方形ABCD沿對角線剪開，得兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，

（1）問題呈現

我們把剪下的兩個三角形一個放大另一個縮小拼成如圖②所示

①點P是一動點，若AB=3，PA=1，當點P位于_ __時，線段PB的值最小；若AB=3，PA=5，當點P位于__ _時，線段PB有最大值．PB的最大值和最小值分別是______．

②直接寫出線段AE與DB的關系是_ ________．

（2）我們把剪下的其中一個三角形放大與正方形組合如圖③所示，點E在直線BC上，FM⊥CD交直線CD于M．

①當點E在BC上時，通過觀察、思考易證：AD=MF+CE；

②當點E在BC的延長線時，如圖④所示；

當點E在CB的延長線上時，如圖⑤所示，

線段AD、MF、CE具有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并選擇圖④或圖⑤證明你的猜想．

問題拓展

（3）連接EM，當=8，=50，其他條件不變，直接寫出線段CE的長_______．

Answer 1

【答案】（1）①AB，BA延長線，最大值是8，最小值是2；；②AE=BD，AE⊥BD；

（2）選擇圖④，則AD+CE=MF.見詳解；

（3）1或7.

【解析】

（1）①P為一動點，PA=1，則點P在以A為圓心，以1為半徑圓上，畫圖的解；同理PA=5，則點P在以A為圓心，以5為半徑圓上，問題得解；②△ACE≌△DCB，問題得解；

（2）類比①；通過添加輔助線FG⊥BE，交BE延長線于G，證明△ABE≌△EGF，進行線段轉移，得出結論；

（3）已知=8，通過三角形面積公式，求出CF=4，△AEF為等腰直角三角形，=50，得出EF=5，勾股定理得EG=3，計算得出結果.

解：（1）①AB；BA延長線；最大值是8，最小值是2；

②AE=BD，AE⊥BD；

證明：如圖，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=90°，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，

即：∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，

∵∠BFC+∠DBC=90°，∠BFC=∠EFD,

∴∠AEC+∠EFD=90°

∴AE⊥BD

（2）②答：選擇圖④，則AD+CE=MF.

證明：如圖，作FG⊥BE，交BE延長線于G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠MCG=∠G==90°，AD=AB=BC，

∴∠BAE+∠AEB=90°.

∵△AEF為等腰直角三角形，

∴AE=EF，∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠GEF=90°，

∴∠BAE=∠GEF，

∴△ABE≌△EGF，

∴AB=EG

∵ AB=BC，

∴EG=BC，

∴EG+CE=BC+CE，

即：CG=BC+CE=AD+CE.

∵∠G=∠MCG=90°，FM⊥CD，

∴四邊形CMFG為矩形，

∴MF=CG，

∴AD+CE=MF

（3）∵CG=BC+CE=FG，四邊形CMFG為矩形，

∴四邊形CMFG為正方形，

∵，

∴

∴FG=4

∵=50，△AEF為等腰直角三角形，

∴EF=5,

∴在直角△EFG中，EG=3，

∴CE=CG-EG=4-3=1或CE=CG+EG=4+3=7 .