Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線交拋物線于點，并且，，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點為拋物線上一動點，且在第二象限，順次連接點、、、，求四邊形面積的最大值；

（3）在（2）中四邊形面積最大的條件下，過點作直線平行于軸，在這條直線上是否存在一個以點為圓心，為半徑且與直線相切的圓？若存在，求出圓心的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，四邊形取得最大值，最大值為9；（3）存在，點Q 為或.

【解析】

（1）過點D作DE⊥x軸，垂足為E，由點D的坐標結合tan∠DBA=，可求出點B的坐標，根據點B，D的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點M作MF⊥x軸，垂足為F，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出A，C的坐標，設點M的坐標為（m，）（-4＜m＜0），則點F的坐標為（m，0），由S四邊形BMCA=S△BMF+S梯形FMCO+S△OCA可得出S四邊形BMCA關于m的函數關系式，再利用二次函數的性質即可求出四邊形BMCA面積的最大值；

（3）連接BC，易證△BOC∽△COA，進而可得出BC⊥AC，由點A，B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC，AC的解析式，設點Q的坐標為（-2，n），由平行線的性質可得出過點Q且垂直AC的直線的解析式為y=x+n+1，聯立該直線與AC的解析式成方程組，通過解方程組可求出交點的坐標，再由該點到點Q的距離等于線段OQ的長度可得出關于n的一元二次方程，解之即可得出結論．

解：（1）過點作軸，垂足為，如圖1所示，

∵點的坐標為

∴，.

∵，

∴，

∴，

∴點的坐標為.

將，代入，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為.

（2）過點作軸，垂足為，如圖2所示，

當時，，解得：，，

∴點的坐標為；

當時，，

∴點的坐標為（0，2）.

設點的坐標為，則點的坐標為，

∴，，，，，

∴四邊形梯形，

，

，

.

∵，

∴當時，四邊形取得最大值，最大值為9.

（3）連接，如圖3所示，

∵，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴.

∵點的坐標為，點的坐標為（0，2），點的坐標為（1，0），

∴直線的解析式為，直線的解析式為（可利用待定系數法求出）.

設點的坐標為，則過點且垂直的直線的解析式為：.

聯立兩直線解析式成方程組，得：

，解得：，

∴兩直線的交點坐標為.

依題意，得：

整理，得，解得：，，

∴點的坐標為或.

綜上所述：在這條直線上存在一個以點為圓心，為半徑且與直線相切的圓，點的坐標為或.