Question

【題目】在△ABC中，AB＝12，AC＝BC＝10，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉，得到△ADE，旋轉角為α(0°<α<180°)，點B的對應點為D，點C的對應點為E，連接BD，BE．

（1）如圖，當α＝60°時，延長BE交AD于點F．

①求證：△ABD是等邊三角形；

②求證：BF⊥AD，AF＝DF；

③請直接寫出BE的長．

（2）在旋轉過程中，過點D作DG垂直于直線AB，垂足為G，連接CE，當∠DAG＝∠ACB，且線段DG與線段AE無公共點時，請直接寫出BE＋CE的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；③ BE＝6－8；（2）BE＋CE＝26 ．

【解析】

（1）①由旋轉性質知AB=AD，∠BAD=60°即可得證；

②由BA=BD、EA=ED根據線段垂直平分線的性質即可得證；

③分別求出BF、EF的長即可得；

（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據三線合一可得CE⊥AB、AC=10、AH=6，繼而知CE=2CH=16、BE=10，即可得答案．

（1）①∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形；

②由①得△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD，

∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

又∵AC=BC，

∴EA=ED，

∴點B、E在AD的線段垂直平分線上，

∴BE是AD的線段垂直平分線，

∵點F在BE的延長線上，

∴BF⊥AD，AF=DF；

③由②知BF⊥AD，AF=DF，

∴AF=DF=6，

∵AE=AC=10，

∴EF=8，

∵在等邊三角形ABD中，BF=，

∴BE=BF﹣EF=；

（2）如圖所示，

∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，

∴∠BAE=∠ABC，

∵AC=BC=AE，

∴∠BAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，

∵AC=BC，

∴AH=BH=AB=6，

∴CH=

則CE=2CH=16，BE=10，

∴BE+CE=10+16=26．