Question

【題目】在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0)，現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD.

(1)求點C,D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；
(2)在y軸上是否存在一點P,連接PA,PB,使S△PAB=S四邊形ABDC?若存在這樣一點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；
(3)點P是直線BD上一個動點，連接PC、PO，當點P在直線BD上運動時，請直接寫出∠OPC與∠PCD、∠POB的數量關系.

Answer 1

【答案】(1) C(0,2),D(4,2)，S四邊形ABDC=8.
(2)存在.證明見解析.

(3) ①∠OPC=∠PCD+∠POB；
②∠OPC=∠POB∠PCD；

③∠OPC=∠PCD∠POB.

【解析】

（1）根據C、D兩點在坐標系中的位置即可得出此兩點坐標；判斷出四邊形ABDC是平行四邊形，再求出其面積即可；
（2）設點P到AB的距離為h，則S△PAB=×AB×h=2h，由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，求出h=4，即可得出點P的坐標；
（3）過點P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形線的性質即可得出結論．

(1)依題意,得C(0,2),D(4,2)，四邊形ABDC是平行四邊形，
∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8；
(2)存在.理由如下：
設點P到AB的距離為h,則S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四邊形ABDC，
∴2h=8，
解得：h=4,
∴P(0,4)或(0,4)；
(3)過點P作PQ∥AB，交y軸于點Q，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴CD∥PQ，
①點P在線段BD上，如圖1所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD,∠OPQ=∠POB,
∴∠OPC=∠CPQ+∠OPQ=∠PCD+∠POB
②點P在BD延長線上，且在CD的上方時，
如圖2所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠OPQ∠CPQ=∠POB∠PCD；
③點P在DB延長線上,且在AB的下方時,
如圖3所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠CPQ∠OPQ=∠PCD∠POB.