Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以點D為圓心、DC為半徑作，點E在AB上，且與A、B兩點均不重合，點M在AD上，且ME=MD，過點E作EF⊥ME，交BC于點F，連接DE、MF．

（1）求證：EF是所在⊙D的切線；
（2）當MA=時，求MF的長；
（3）試探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，請直接寫出MF的長度；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：過點D作DG⊥EF于G，

∵ME=MD，∴∠MDE=∠MED。
∵EF⊥ME，∴∠DME+∠GED=90°。
∵∠DAB=90°，∴∠MDE+∠AED=90°。
∴∠AED=∠GED。
在△ADE和△GDE中，
∵∠AED=∠GED，∠DAE=∠DGE=90°，DE=DE，
∴△ADE≌△GDE（AAS）。∴AD=GD。
∵的半徑為DC，即AD的長度，∴EF是所在⊙D的切線。
（2）MA=時，ME=MD=2﹣=，
在Rt△AME中，，
∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1。
∵EF⊥ME，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠B=90°，∴∠2+∠3=90°。∴∠1=∠3。
又∵∠DAB=∠B=90°，∴△AME∽△BEF。
∴，即，解得EF=。
在Rt△MEF中，。
（3）不能。理由如下：
假設△MFE能是等腰直角三角形，則ME=EF。
∵在△AME和△BEF中，，∴△AME≌△BEF（AAS）。∴MA=BE。
設AM=BE=x，則MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x。
∵ME=MD，∴ME=2﹣x。∴ME=AE。
∵ME、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊，∴ME≠AE。
∴假設不成立。
∴△MFE不能是等腰直角三角形。

試題分析：（1）過點D作DG⊥EF于G，根據等邊對等角可得∠MDE=∠MED，然后根據等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=GD，再根據切
線的定義即可得證。
（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根據同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式計算即可得解。
（3）應用反證法，假設△MFE能是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得ME=EF，先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等，根據全等三角形對邊角相等可得AM=BE，設AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根據ME=MD，從而得到ME=AE，根據直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形。