Question

（2013年四川資陽8分）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．

（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數．

Answer 1

解：（1）如圖，過點O作OE⊥AC于E，則AE=AC=×2=1。

∵翻折后點D與圓心O重合，∴OE=r。
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，即r²=1²+（r）²，
解得r=。
（2）連接BC，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°。
根據翻折的性質，所對的圓周角等于所對的圓周角
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°。

（1）過點O作OE⊥AC于E，根據垂徑定理可得AE=AC，再根據翻折的性質可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解。
（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到所對的圓周角，然后根據∠ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角，計算即可得解。