Question

（12分）如圖，直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．

（1）直接寫出D點的坐標；
（2）設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數關系；
（3）當△AEF是等腰三角形時，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

Answer 1

（1）
（2）
（3）或1或

解：（1）D點的坐標是.                                   （2分）
（2）連結OD,如圖（1），由結論（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°,

又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF                                               (4分)
∴，即：
∴y與x的解析式為：
          (6分)
（3）當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況.
①當EF=AF時，如圖（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形.

D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF與五邊形OEFBC重疊的面積為
四邊形EFBD的面積.
∵
∴

∴
∴（也可用）   (8分)
②當EF=AE時，如圖（3），此時△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.

∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ，又DB∥EA
∴四邊形DEAB是平行四邊形
∴AE=DB=
∴
            (10分)
③當AF=AE時，如圖（4），四邊形AEA’F為菱形且△A’EF在五邊形OEFBC內.

∴此時△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.
由（2）知△ODE∽△AEF,則OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
過F作FH⊥AE于H,則

∴
綜上所述，△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或     （12分）