Question

【題目】已知：如圖，是的直徑，是的弦，為上一點，過點作，交弦于點，交于點，且．

求證：是的切線；

如果，，，求半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等邊對等角得到兩對角相等，根據DM垂直于AC，得到一對角互余，等量代換得到∠OCD=90°，即可得到DC為圓O的切線；

（2）過D作DG垂直于AC，連接CB，利用三線合一得到G為CE中點，由CE長求出EG長，利用對頂角相等得到∠DEG=∠AEM，確定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用銳角三角函數定義求出DE的長，再利用勾股定理求出DG的長，由DM-DE求出EM的長，由一對直角相等，一對對頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似，由相似得比例求出AM與AE的長，AE+EC求出AC的長，由AB為圓的直徑，得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數定義表示出cosA，即可求出AB的長，進而確定出圓的半徑.

證明：如圖，連結，

∵，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∴是的切線；

如圖所示，過作，連接，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，，

∴，

∵為圓的直徑，

∴，

∴，

∴，

則圓的半徑為．