Question

【題目】某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設.現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線、上．

活動一、如圖甲所示，從點開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直（為第1根小棒）

數學思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答： （填“能”或“不能”）

（2）設，求的度數；

活動二：如圖乙所示，從點開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且．

數學思考：

（3）若已經擺放了3根小棒，則 ， ， ；（用含的式子表示）

（4）若只能擺放5根小棒，則的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．

【解析】

（1）由小棒與小棒在端點處互相垂直，即可得到答案；

（2）根據等腰直角三角形的性質和三角形外角的性質，即可得到答案；

（3）由，得∠AA2A1=∠A2AA1=θ，從而得∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，同理得∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，∠A2AA1+θ+3θ=4θ；

（4）根據題意得：5θ＜90°且6θ≥90°，進而即可得到答案．

（1）∵小棒與小棒在端點處互相垂直即可，

∴小棒能無限擺下去，

故答案是：能；

（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴∠A2A1A3＝45°，

∴∠AA2A1+θ＝45°，

∵AA1＝A1A2

∴∠AA2A1＝∠BAC=θ，

∴θ＝22.5°；

（3）∵，

∴∠AA2A1=∠A2AA1=θ，

∴∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，

∵，

∴=2θ，

∴∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，

∵，

∴3θ，

∴∠A2AA1+θ+3θ=4θ，

故答案是：2θ，3θ，4θ；

（4）由第（3）題可得：5θ，6θ，

∵只能擺放5根小棒，

∴5θ＜90°且6θ≥90°，

∴15°≤θ＜18°．

故答案是：15°≤θ＜18°．