Question

【題目】如圖，已知四邊形ABFC為菱形，點 D、A、E在直線l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA．

（1）求證：△ABD≌△CAE；

（2）若∠FBA＝60°，連結DF、EF，判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DEF是等邊三角形，理由見解析

【解析】（1）利用菱形的性質得出AB=AC，進而得出∠2=∠3，即可利用AAS證明△ABD≌△CAE；
（2）易證△ABF與△ACF均為等邊三角形，然后證明△FBD≌△FAE，則DF=EF，∠BFD=∠AFE，從而求得∠DFE的度數，即可證得：△DEF是等邊三角形．

(1)證明：∵四邊形ABFC為菱形，

∴AB=AC.

∵∠BDA=∠BAC=∠CEA，

又∵

∴∠2=∠3.

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAE(AAS)；

(2)答：△DEF是等邊三角形.

連結AF，

∵四邊形ABFC為菱形,

∴△ABF與△ACF均為等邊三角形，

∴BF=AF,

∵∠2=∠3，

∴∠FBA+∠2=∠FAC+∠3，即∠FBD=∠FAE，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD=AE.

在△FBD和△FAE中，

∴△FBD≌△FAE，

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE.

∵

∴ 即

∴△DEF是等邊三角形.