Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點M是邊BC上一點，BM=3，點N是線段MC上的一個動點，連接DN，ME，DN與ME相交于點O．若△OMN是直角三角形，則DO的長是

Answer 1

【答案】或
【解析】解：如圖作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于點O′，此時∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位線，
∴DE∥BC，DE= BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四邊形DEFN′是平行四邊形，∵∠EFN′=90°，
∴四邊形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴ = ，∴ = ，∴DO′= ．
當∠MON=90°時，
∵△DOE∽△EFM，
∴ = ，∵EM= =13，∴DO= ，
故答案為 或 ．

分兩種情形討論即可①∠MN′O′=90°，根據 = 計算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得 = 計算即可． 本題考查三角形中位線定理、矩形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會分類討論，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．