Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴CD= OD=2 ，

∴陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE

= ×2×2 ﹣

=2 ﹣

【解析】（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據三角形外角性質得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CD= OD=2 ，然后利用陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE和扇形的面積公式求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理和扇形面積計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．